Нестандартные методы решения уравнений. Курсовая работа: Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

«Нестандартные методы решения уравнений»

Кубанова Ольга Николаевна, учитель математики,

МБОУ «Плесецкая средняя школа»

« Процесс решения уравнения -

есть просто акт приведения его к более простой форме.

Но в некоторых формах его нелегко прочесть.

Решение его аналогично переводу

незнакомой фразы на понятный нам язык»

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приёмов, предназначенных для вполне определённых типов уравнений, но и теми «нестандартными» методами, о которых я хочу рассказать.

Суть этих методов – реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, то есть мы будем применять хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.

Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, нестандартные методы предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей у детей, а также повышение качества обучения математике.

Я остановлюсь на методе, где для решения уравнений используются свойства функций, входящих в уравнение.

Исследование области определений и области значений функций:

Заметим, что и и

Поэтому равенство невозможно.

Ответ: нет корней.

Свойства монотонности функций:

Это уравнение можно решить стандартным способом, а можно проще. В левой части уравнения – возрастающая функция, а в правой – убывающая. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 – корень уравнения, что можно проверить подстановкой.

Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть , тогда . Рассмотрим функции: и . Эти функции взаимно обратные, возрастает, то равносильно уравнению .

Корень один, т.к. слева – возрастающая функция, справа – убывающая функция.

Использование « неотрицательности» функций:

.

Все слагаемые левой части неотрицательны, следовательно равенство возможно, только если каждое из слагаемых равно нулю.

Эти два равенства противоречат друг другу. Система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Чтобы использовать эти методы для решения уравнений, необходимо хорошо знать теоретический материал. Используя эти методы, экономится время, что позволяет решить больше заданий. А это немало важно при написании контрольных работ и сдаче ЕГЭ.

Свойства функций:

Т-1:

Использование суперпозиций функций:

Т -2:

«Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

Область определения и область значения квадратного корня.

Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.

Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.

«Неотрицательность» функций.

Свойства функций:

Область определения и область значения квадратного корня.

Свойства монотонности функции:

Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.

Использование суперпозиций функций:

Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.

«Неотрицательность» функций.

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

учащаяся 9 а класса

Руководитель работы:

Фирсова Дарья Евгеньевна

учитель математики

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У.У. Сойер (английский математик XX века)

Цель работы

Изучить все существующие способы решения квадратного уравнения. Научиться использовать эти способы.

Задачи

• Понять, что называется квадратным уравнением.
• Узнать какие виды квадратных уравнений существуют.
• Найти информацию о способах решения квадратного уравнения и изучить её .

Актуальность темы: Изучением квадратных уравнений люди занимались еще с древних веков. Мне захотелось узнать историю развития квадратных уравнений.

В школьных учебниках дана не полная информация о квадратных уравнениях и способах их решения.

Объект: Квадратные уравнения.

Предмет: Способы решения данных уравнений.

Методы исследования: аналитический.

Гипотеза – если я при исследовании данной темы смогу реализовать постановленные мною цель и задачи, то соответственно выйду и на реализацию предпрофильной подготовки в области математического образования.

Методы исследования:

• Работа с учебной и научно-популярной литературой.
• Наблюдение, сравнение, анализ.
• Решение задач.

Ожидаемые результаты: В ходе изучения данной работы, я реально смогу оценить свой интеллектуальный потенциал и соответственно в будущем определиться с профилем обучения, создать проектный продукт по исследуемой теме в форме компьютерной презентации, изучение данного вопроса позволит мне компенсировать недостаточность в знаниях по обозначенной теме.

Считаю свою работу перспективной, так как в дальнейшем этим материалом могут воспользоваться и ученики, для повышения математической грамотности, и учителя на факультативных занятиях

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера , а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант

квадратные уравнения

УРАВНЕНИЕ:

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X .

Разность между ними 2 Х

Отсюда Х=2 . Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² +bx=c, a0

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?.

Соответствующее задачи уравнение:

Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

Квадратные уравнения в Древней Азии

х 2 +10 х = 39

Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:

Он писал: "Правило таково:

раздвои число корней, х=2х ·5

получите в этой задаче пять, 5

умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25

прибавь это к тридцати девяти, 25+39

будет шестьдесят четыре, 64

извлеки из этого корень, будет восемь, 8

и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5

останется 3

это будет корень квадрата, который ты искал."

А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком

Леонардом Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А, равно BD, то А равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.

На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает :

Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p , а произведение равно q , то есть x 1 + x 2 = -p , x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

• Разложение левой части уравнения на множители
• Теорема Виета
• Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения
• Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента
• Метод выделения полного квадрата
• Графический способ решения квадратных уравнений
• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
• Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
• Геометрический способ решения квадратных уравнений

Метод разложения на множители

привести квадратное уравнение общего вида к виду:

А(х)·В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Цель:

Способы:

• Вынесение общего множителя за скобки;
• Использование формул сокращенного умножения;
• Способ группировки.

Пример:

: х 2 + 10х – 24 = 0

Разложим левую часть уравнения на множители:

х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2);

(х + 12)(х – 2) = 0;

х + 12 = 0 или х – 2 = 0;

х 1 = -12 х 2 = 2 ;

Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения.

Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

x 1 и х 2 – корни уравнения

Например :

Х 2 + 3Х – 10 = 0

Х 1 ·Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

знаки

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

корень - отрицательный

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0

Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов

уравнения равна нулю), то х 1 = 1 , х 2 = c/а

Если а - b + с = 0 , или b = а + с , то х 1 = – 1 , х 2 = – с/а .

Пример :

137х 2 + 20х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x 1 = 1,

Ответ: 1;

Решение уравнений способом «переброски»

Корни квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 и y 2 + by + ac = 0 связаны соотношением : х = y/а .

Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 , где a ≠ 0. Умножая обе его части на а , получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у² + bу + ас = 0 , равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = y 1 /a и х 2 = y 2 /a .

Решите уравнение: 2х 2 - 11х +15 = 0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному члену

у 2 - 11у +30= 0. D0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: 5;6, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.

Метод выделения полного квадрата

х 2 + 6х – 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3 , поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 , имеем:

х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16 .

Следовательно, х + 3 - 4 = 0 или х + 3 + 4 = 0

х 1 = 1 х 2 = -7

Ответ: -7; 1.

Графический способ решения квадратного уравнения

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим

способом. Решим уравнение

Для этого построим два графика:

Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.

Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.

Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.

Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

Ответ:

Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки

1. Выберем систему координат.

2. Построим точки S (-b/ 2 а; а+с/ 2 а) – центр окружности и А( 0; 1 ) .

3. Проведем окружность с радиусом SA .

Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения.

x 1

x 2

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Для уравнения

номограмма дает корни

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 + 10х = 39 . В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

S = x 2 + 10 x + 25 (х 2 + 10 х = 39 )

S = 39 + 25 = 64 , откуда следует,

что сторона квадрата АВСD ,

т.е. отрезок АВ = 8 .

х = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

На основании опроса установлено, что:

• Наиболее сложными оказались следующие способы:

Разложение левой части уравнения на множители,

Метод выделения полного квадрата.

• Рациональные методы решения:

Решение квадратных уравнений по формуле;

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

• Практического применения не имеет

Геометрический способ решения квадратных уравнений.

• Никогда раньше не слышали о способах:

Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения;

С помощью номограммы;

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки;

Способ «переброски» (этот способ вызвал интерес у учеников).

Заключение

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики;

• овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

• потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?

Этим вопросам посвящена исследовательская работа «Нестандартные способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель исследовательской работы: выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений; выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Просмотр содержимого презентации
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Прядкова Екатерина Сергеевна

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Выявить способы решения квадратных уравнений

Узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов

• Анализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений
• Показать различные способы решения квадратных уравнений
• Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений
• Научиться решать квадратные уравнения различными способами

Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части на множители

По формуле

Основные

С использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Графический способ

По свойствам коэффициентов

Способом «переброски»

Дополнительные

С помощью циркуля и линейки

С помощью номограммы

Геометрический способ

Свойства коэффициентов

Свойства:

Способ «переброски»

Умножив обе части уравнения на а, получим

Пусть

, откуда

Тогда получим уравнение с новой переменной

Его корни у 1 и у 2 . Окончательно

С помощью циркуля и линейки

Радиус окружности больше ординаты центра

, окружность пересекает ось Ох в двух точках, где корни исходного уравнения.

Радиус окружности равен ординате центра

, окружность пересекает ось Ох в одной точке где корень исходного уравнения.

Радиус окружности меньше ординаты центра

, окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

С помощью номограммы

х 2 -9х+8=0

Х 1 =8; х 2 =1

Геометрический способ

Рассмотрим, как древние греки решали уравнение

Решение представлено на рисунке, где

или

Выражения

и 16 + 9

геометрически представляют собой один и тот же квадрат со стороной 5.

Поэтому

Обработка данных

Метод выделения

полного квадрата

Разложение левой части

уравнения на множители

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

С использованием

формул Виета

По формуле

имеет два разных

по знаку корня

больший по модулю

корень отрицательный

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

По свойству коэффициентов

Способом «переброски»

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:

Так как

из которого по формулам Виета

Корнями исходного уравнения будут

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Графический метод

С помощью циркуля и линейки

Запишем уравнение в виде

Определим координаты центра окружности по формулам:

Построим в одной системе координат графики функций

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: -4,5; 1.

Обработка данных

Геометрический способ

С помощью номограммы

Представим уравнение в виде:

Представим уравнение в виде:

Площадь полученного квадрата:

Так как

Номограмма дает положительный корень

Таким образом, получили уравнение:

отрицательный корень

Ответ: -4,5; 1.

Положительные стороны и недостатки

Положительные стороны

Разложение левой части уравнения на множители

Недостатки

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Метод выделения полного квадрата

Нужно правильно расчленить слагаемые для

группировки.

По формуле

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

С использованием формул Виета

Нужно выучить формулы.

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Легко находятся только целые корни.

Название способа решения квадратных уравнений

Положительные стороны

Недостатки

Способом «переброски»

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.

По свойствам коэффициентов

Графический способ

Легко найти только целые корни.

Не требует особых усилий

Наглядный способ

Подходит только к некоторым уравнениям

С помощью циркуля и линейки

Могут быть неточности при составлении графиков

Наглядный способ

С помощью номограммы

Наглядный способ, прост в применении.

Могут быть неточности

Геометрический способ

Наглядный способ.

Не всегда под рукой имеется номограмма.

Похож на способ выделения полного квадрата

Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо

знать:

 формулу нахождения дискриминанта;

 формулу нахождения корней квадратного уравнения;

 алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

 решать неполные квадратные уравнения;

 решать полные квадратные уравнения;

 решать приведенные квадратные уравнения;

 находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

 делать проверку.

Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников

«Шаг в науку»

Секция МАТЕМАТИКИ

Тема : Нестандартные методы решения иррациональных

уравнений.

Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2

10 класс, п. Карымское

Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,

учитель математики

МАОУ СОШ №2, п. Карымское

п. Карымское, 2013

Аннотация………………………………………………………………….3

План исследования…………………………………………………….......4-5

Описание работы:

§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9

§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14

§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17

§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19

§5. Уравнения вида ………………………………………20-22

§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях

; ……………………………23-24

4) Список литературы…………………………………………………….....25

Аннотация.

Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;

В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :

Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;

Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;

Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;

Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

План исследования.

Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.

В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.

Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.

В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.

Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :

Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.

Установить связи между видами и методами решения.

Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.

Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).

В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Описание работы.

§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений

Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.

Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.

Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.

Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.

Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.

Рассмотрим несколько примеров:

Ответ: корней нет

–посторонний корень

В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).

Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,

основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.

Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.

3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)

4х 2 -26х +40 ≥0

Решая эту систему неравенств получим:

х € Откуда х = 2,5.

х € (-∞ ; 2,5] ᴗ }